Các giá trị của hàm pentation cũng có thể được lấy từ các giá trị trong hàng thứ tư của bảng giá trị của một biến thể của hàm Ackermann: Nếu A ( n , m ) {\displaystyle A(n,m)} được định nghĩa bằng sự tái diễn Ackermann A ( m − 1 , A ( m , n − 1 ) ) {\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))} với điều kiện ban đầu A ( 1 , n ) = a n {\displaystyle A(1,n)=an} và A ( m , 1 ) = a {\displaystyle A(m,1)=a} . Khi đó, a [ 5 ] b = A ( 4 , b ) {\displaystyle a[5]b=A(4,b)} .[7]
Như tetration, cơ số phép toán của nó, chưa được mở rộng đến chiều cao không nguyên, pentation a [ 5 ] b {\displaystyle a[5]b} hiện chỉ được xác định cho các giá trị nguyên của a và b trong đó a > 0 và b ≥ -1, và một vài giá trị nguyên khác có thể được xác định duy nhất. Như với tất cả các hyper khác ra khỏi bậc 3 (luỹ thừa) và cao hơn, pentation có các trường hợp tầm thường sau đây (đồng nhất) chứa hết tất cả giá trị a và b trong miền của nó:
- 1 [ 5 ] b = 1 {\displaystyle 1[5]b=1}
- b [ 5 ] 1 = b {\displaystyle b[5]1=b}
Ngoài ra, chúng ta có thể định nghĩa:
- a [ 5 ] 0 = 1 {\displaystyle a[5]0=1}
- a [ 5 ] ( − 1 ) = 0 {\displaystyle a[5](-1)=0}
Khác với những trường hợp tầm thường ở trên, pentation tạo ra những số cực kỳ lớn rất nhanh đến nỗi chỉ có một vài trường hợp không tầm thường tạo ra những con số có thể được viết theo ký hiệu thông thường, như minh họa dưới đây:
- 2 [ 5 ] 2 = 2 [ 4 ] 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}
- 2 [ 5 ] 3 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) = 2 [ 4 ] 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65536 {\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536}
- 2 [ 5 ] 4 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 4 ) = 2 [ 4 ] 65536 = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 (một tháp mũ có chiều cao 65,536) ≈ exp 10 65 , 533 ( 4.29508 ) {\displaystyle 2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (một tháp mũ có chiều cao 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)} (hiển thị ở đây trong ký hiệu số mũ lặp đi lặp lại vì nó quá lớn để được viết theo ký hiệu thông thường. Ghi chú exp 10 ( n ) = 10 n {\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}} )
- 3 [ 5 ] 2 = 3 [ 4 ] 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
- 3 [ 5 ] 3 = 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 ) = 3 [ 4 ] 7 , 625 , 597 , 484 , 987 = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 (một tháp mũ có chiều cao 7,625,597,484,987) ≈ exp 10 7 , 625 , 597 , 484 , 986 ( 1.09902 ) {\displaystyle 3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (một tháp mũ có chiều cao 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}
- 4 [ 5 ] 2 = 4 [ 4 ] 4 = 4 4 4 4 = 4 4 256 ≈ exp 10 3 ( 2.19 ) {\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)} (một con số có hơn 10153 chữ số)
- 5 [ 5 ] 2 = 5 [ 4 ] 5 = 5 5 5 5 5 = 5 5 5 3125 ≈ exp 10 4 ( 3.33928 ) {\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)} (một con số hơn 10102184 chữ số)
